不等式

均值不等式

小于 的不等式?

小于 的不等式? ​

小于 的不等式?

关系?
证明:将 等式相加后整体除二。 或者直接排序不等式证明。

关系? 证明:拆开后即证 等式相加后整体除二。 或者直接排序不等式证明。

平方和为定值,考虑方法? 三角换元。

证明不等式,和为定值,考虑方法? 对称换元。 琴生不等式。

根号裂项常用等式? ​

证明不等式时,出现二次项、一次项、常数项,可以考虑的方法? 判别式法。

均值不等式四个式子? 调几算方。

关于 的两个不等式?证明? 证明:构造 可证右边。 对 运用拉格朗日中值定理, 不难发现 ,证毕。

进阶不等式

柯西不等式? ​ 取等条件: 相等。

柯西不等式证明? 二次函数构造法: ,即 时,原式取等号。 计算判别式得到 原式得证。

排序不等式? 顺序和最大,反序和最小,乱序和中间。

琴生不等式? 关于凹凸性得到的不等式。 若 为区间 上的上凸函数, ,不等式 成立。 若 为区间 上的下凸函数, ,不等式 成立。 当 相等时取等。

幂平均不等式? 若 ,则: ​

幂平均不等式证明? 利用琴生不等式。 两边同时 次方,即证: ,则原式等价于: 即证明 为上凸函数,考虑到 ,显然成立。