数学多元问题与偏移问题
多元问题与偏移问题是常见的导数大题知识点。
多元问题
多元问题有两种常见的解法：
-
隔离法。将不等式两边配凑出相同形式，构造新函数进行研究。
-
合一法。将双变量转化为单变量，构造新函数进行研究。
隔离法较为基础，不再赘述，主要看合一法。
合一法
合一法又有三种形式：
-
对数，令
-
指数，令
-
韦达代换，利用韦达定理。
对数
由于对数的优秀性质，可以将减法转化为除法，从而建立双变量间的联系，因此常常设 进行研究。
随后，通过题目信息获取等式，通过 消元后，得到 关于 的等式，进而代回得到 ，解决问题。
解题分三步走：
- 1.
设出 .
- 2.
获取题目中的等式，利用 消去一元，获取 关于 的等式。
- 3.
将 关于 的等式代回目标不等式中，获取关于 的单元不等式，构造函数求解。
例题：
2016 年天津高考一模文科五校联考第 20 题 14 分
已知函数 .
设若 有两个零点为 ，求证： .
令 ，不妨设 ，此时 .
通过合一法代换，我们成功将双变量的不等式转化为了关于 的单变量不等式。
接下来只需要构造函数正常证明即可，不再赘述。（此处有一口诀：对数单身狗，指数好基友。）
指数
指数是设 ，利用了相除的性质。与对数类似，请读者举一反三，不再赘述。
韦达代换
韦达代换指的是，通过题目条件得出的一元二次方程，利用韦达定理将双变量统一为单变量求解。
例题：
2017 年山东烟台高三二模文科第 21 题 14 分
已知函数 ，若 有两个极值点 ，且不等式 恒成立，求 的范围。
本题的核心思路是通过韦达定理，对 与 进行代换。
目标不等式转化为关于 的不等式，后按常规套路求解即可，不再赘述。
偏移问题
极值点偏移
极值点偏移是解决偏移问题的一种常用手段。
形式上，函数 存在极值点 ，目标不等式为 或 时，可以考虑使用极值点偏移。
解题步骤：
- 1.
分析 单调性。
- 2.
- 3.
求解。
核心在于，将极值点两侧两点，通过对称的方法，置于极值点同侧的单调区间上，再利用单调性求解。
利用到的核心转换是 ，其中 常常是 $0$ ，但也可以是其他常数。
如果函数的极值点并不恰好是欲证明的不等式中的 ，可以考虑构造新的函数使其极值点为 .
例题：
已知函数 有两个不同的零点 ，其极值点为 .
求证： .
求证： .
求证： .
不妨设 .
对于第一问 ：
接着按套路求解即可。
对于第二问 ：构造极值点为 $1$ 的函数。
接着按套路求解即可。
对于第三问 ，对于乘积形式的偏移问题有两种做法。
第一种就是转化为 然后按照第二问求解。
第二种是转化为 求解。
大同小异，读者自证不难。
事实上，极值点偏移灵活使用，可以解决非常多的问题。例如文中的合一法例题 就可以通过极值点偏移求解。
本文仅抛砖引玉，更多的花样还须读者在题目中学习。