隐零点
隐零点是导数大题中常用的技巧。
简单地讲,对于某些难以求解的方程,可以采用 设而不求 的方法,进行隐零点代换,从而实现 指对化幂,方便求解。
举个例子,求如下函数的最小值的范围:
⟹==f(x)=ex+x2+xf′(x)=ex+2x+1f′′(x)=ex+2>0assume that ∃x0 satisfies f′(x0)=0ex0+2x0+1=0it’s trivial that x0 is the minimum of f(x)f(x)min=f(x0)=ex0+x02+x0−2x0−1+x02+x0x02−x0−1
通过隐零点代换,可以将难以求解的式子代换成可计算的多项式,从而进行后续计算。
虽然隐零点无法计算出准确数值,但可以通过零点存在性定理进行逼近。
零点存在性定理
即介值定理(intermediate value theorem),详细内容可以看维基百科。
这里给出一种感性理解的个人说明。
对于连续函数 f(x) :
⟹satisfies ∀x1,x2∈[L,R],f′(x1)×f′(x2)≥0,f(L)×f(R)≤0∃x0∈[L,R],f(x0)=0
即对于一段连续单调区间,如果两端点正负性不同,则一定存在位于该区间内的零点。
可以利用零点存在性定理对隐零点进行逼近,从而完成不等式的证明。
⟹⟹f(x)min=f(x0)=x02−x0−1f′(x0)=0,∀x1<x0,f′(x1)<0,∀x2>x0,f′(x2)>0f′(0)=2>0,f′(−1)=e1+1−2<0x0∈(−1,0)f(x)min<min{f(−1),f(0)}
这样就完成了对原函数最小值的逼近。