函数迭代

函数迭代与函数方程

• 函数迭代： 为定义在 上且取值于 上的函数，记 ，则称 是 在 上的 次迭代。

• 迭代周期：若存在自然数 ，则称 为迭代周期函数，其迭代周期为 ，其中最小的自然数 称为 的基本迭代周期。 为 为 迭代周期的充要条件。

• 基本运算规律：，即满足结合律。

• 常用函数迭代解法

  • 直接公式法

    • 若 ，则

    • 若 ，则

    • 若 ，则

    • 若 ，则

  • 数学归纳法：先迭代几次，观察规律，猜想表达式再用数学归纳法证明。

  • 桥函数相似法

    • 对于给定的函数 与 ，若存在一个可逆函数 使得 ，则称 和 关于 相似，记作 ，其中 成为桥函数。

    • 若 ，则

例题

1

已知 是实系数一次函数，且 ，求

不妨设

迭代一次得到

数学归纳得到

则 ，即得 ，从而解得

2

，求

不难发现， 时收敛于

迭代两次，一定得到 ，而 即成立。

3

，求

不难想到这是一个迭代周期函数，因此直接手动计算。 这里是考虑到求出不动点无实根，因此必定是周期函数。

最小迭代周期为 ，因此：

4

，，求 和

，因此有：，取个倒数就能写出通项。

另一边也是同理的。

5

，求

不难考虑取倒数，，既有： ​，构造等比数列。

因此：

整理得到

还可以使用桥函数相似法。

与 相似。 ​，即

因此 ，即可求解。

6

证明桥函数的性质：若 ，则

运用数学归纳法。

时显然成立。 ​ 时成立，先证 时成立，即证： 由 ，即得

由桥函数定义，有 ，证毕。

7

，求

这个如果等价于求 的通项公式，看起来也很有难度。 一阶常系数二次递推，难以求通项。但其实可以这样：

可以考虑配方，，有趣的是可以写成 ，

，其中 ，而

因此

桥函数可以看作一个换元的中介函数，类似于数列中的令 。

函数方程

8

解函数方程：

稍微化简一下，

令 代入，

周期并不为二，继续代入。

令 ，代入有

因此我们得到了三个式子： ​ ​ ​ 稍微配凑一下就能得到

9

对于任意非负实数 都有 ，且 ，求

首先考虑特殊值，

，

可以猜想 、、、