高斯函数
本部分内容不在考纲中。
高斯函数
用 表示实数 的整数部分，即不超过 的最大整数，通常称 为取整函数，又称高斯函数。
小数部分函数：记 ，则称 为小数部分函数。
高斯函数常用性质
-
对任意实数 ，有 ，且
-
的定义域为 ，值域为 ， 的定义域为 ，值域为
-
对任意实数 ，有 ，
-
是不减函数，若 ，则有
-
是以 为最小正周期的周期函数
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，，其中
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，，，
-
特别地，，
-
-
，其中 为正实数
-
，
-
特别地，，
-
-
，其中
-
证明：不妨设
-
-
-
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若 ，且 ，则
-
若 ，且 ，则
-
-
更一般的结论：
对于 ，，证明
-
思想方法
与高斯函数相关的求解类问题，例如解方程等，一般考虑先求出 的范围，然后枚举代回求解。
例题
1
计算
可以考虑到反向相加。
由于 大概是一个素数，没有整除的时候，因此总是要损失一些小数部分，而 ，并且两者都是小数，则其小数部分和为 ，总损失值即为
故而：
实质上：
从损失的小数部分的和进行考虑。
2
对于任意 ，计算
稍微拆开一下，
在 C++ 中，对小数进行四舍五入的一个简单操作是：，因此这个操作实质上是四舍五入了。
而事实上，，可以考虑 ，有 ，若 则进位成立，若 则去尾成立。
可以利用这个做裂项。
，求和即得 ，当 足够大时后者即为 ，因此原式即为
3
，证明
可以发现一定是一奇一偶。
当 为奇数时，可以考虑倒序相加，，与
当 为偶数，有 组配对，而还有一个单独的 ，对于已配对的依然是 ，而对于 ，由于 是奇数，直接有 则整体为
证毕。
4
，，证明
引理：，若 ，则
证明：设 ，，由
根据引理，只需证明 ，左式平凡地成立，对于右式：，即成立。
5
对于 ，，证明
不难发现，当 时，即为 ，这个结论原来是
令 ，即证 恒成立。
可以证明 ，只需证明对于 时成立。但这依然没有改变需要讨论的情况。
有趣的是，可以证明 ，只需证明 上成立，不难发现此时 显然成立。
6
求方程 的实数解。
与高斯函数相关的求解类问题，例如解方程等，一般考虑先求出 的范围，然后枚举代回求解。
考虑到 ，
因此 ，可以求出 的范围是 所以 ，代入求解 即可。 还要再验证一下。
7
求 的实数根。
可以直接整数分段讨论。显然单调递增。
时不成立。
时，同样不成立。
再讨论 ，，都不成立。
则 ，，即得
接下来的例题来自《更高更妙的数学二轮复习》，难度较低。
8
设集合 和 ，其中 表示不大于 的最大整数，求
集合 中的 范围是容易求出的，那么可以求出对应的 范围：
与高斯函数相关的求解类问题，例如解方程等，一般考虑先求出 的范围，然后枚举代回求解。
，无解。
， 为合法解。
，无解。
，无解。
，无解。
， 为合法解。
，无解。
综上，
9
某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数 与该班人数 之间的函数关系用 可以表示为： A B C D
首先选出 名代表，除以十的余数大于 6，也就是剩下大于等于 7 人时再赠加一个，则 B 符合题意。
挺直观的。
10
求函数 的值域。
分段讨论。
当 时，，因此 当 时，，因此 ，
则 值域为
11
已知不等式 ，其中 为大于二的整数。 设数列 各项为正，且满足 ，
证明
猜测数列 是否有极限，如果有，写出极限的值。
试确定正整数 ，当 时，
给出了一个调和级数和的不等式。
那么很自然地，我们想要构造出这个形式。
，累加即可得到 ，即证毕。
考虑 时，利用上式有
，只需证 ，当 时，即要求 ，当 时成立，故 即
这里一个有意思的点是 能不能取到，考虑 ，因此 应当是可取的。
不过这毕竟只是一个充分条件，因为没有确定 下界的不等式。
背诵内容(Anki 同步)
与 关系？
与 关系？
与 关系？
与 关系？
与 关系？（ 为正实数）
与 关系？（）
与 关系？（ ）
若 ，且 ，则 ？
若 ，且 ，则 ？
证明思路？ 构造 证明 ，再证 即可。