根号套根号化简初探

有时候，我们会遇到这样的式子：

我们很容易观察出来：

但这不禁让人思考：如果配方更难观察出来怎么办？有没有什么通用的方法来解决这个问题？ 其实这就是一个配方问题。

我们直接考虑配方的最终可能形式，可以发现 囊括了所有可能。注意 都是有理数。 配方最终形式有两种可能：两个无理数，一个无理数一个实数。 即 或 ，为了方便，将 化为 在只含一个根号的情况下，不可能配方成多于二项的多项式的平方，因为实数相加后始终只占一项，若出现 且 则一定有超过一种的根号。

对于 ，有 ，，代入消元有

稍微整理一下，得到 ，要解出对应的有理数 ， 由求根公式有 ，不难发现 是对称的，因此这里的两个解就分别对应了 . 其实通过和、积的关系，由韦达定理也能进行类似的自然联想。

例如对于 ，可以得到 ，则有 ，解得 ，则

这隐含了一个条件： 必须是完全平方数，否则我们在化简的过程中又会出现根号套根号的结构。 事实上，我们可以用 将 表示出来：，而 为有理数，因此若能求出对应的 ，则 一定是一个有理数的平方。

那么对于 ，我们可以将其配凑成 的条件是：.

另一种 的情况也是相当类似的，这里就不赘述了。

结论

根号套根号化简公式： 对于 ，若 ，则 对于 ，若 ，则

对于 ，是无法化简的，因为 ，而由均值不等式有 ，矛盾。

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