圆锥曲线齐次化联立

这部分笔记是我在高二初学齐次化联立时所写，不代表最终质量，后续将有调整。#TODO#

简介

齐次化联立是处理与斜率有关问题时的有力工具。

当题目涉及某点到圆锥曲线上两点的斜率和、斜率积时，有很大的概率可以用齐次化联立解题。

齐次化联立在某些题目中可以加速计算，但在某些题目中反而会减慢计算，需要谨慎使用。

齐次化联立的核心思想，就是设一条直线交圆锥曲线，然后以进行齐次化变换。需要注意的是，这样设出的直线不过原点，因此必须特殊说明。下面以椭圆的齐次化联立为例。

设椭圆，直线 .

我们得到了一个关于的二次函数。
通过韦达定理，就可以方便地获取斜率相关的信息，从而灵活解题了。

这种方法，现场推导有一定的复杂度，不一定比联立计算更快，但如果记下来化简后的式子，就可以加速解题。

但是需要注意，在某些题目中，使用齐次化联立反而会加大计算量。

抛物线，其中为坐标原点，与为抛物线上的点，且，证明直线过定点。

这道题目可以用传统方法联立计算，也并不复杂，但我们使用齐次化联立来解决它。
显然直线不过原点。
设直线为，对抛物线方程进行变换：

根据韦达定理，，由题意知，即 .
直线恒过定点 .

在这一题中，我们利用直线方程，将抛物线方程中一次项乘上了，实现齐次化，随后同时除以构造出关于的二次函数，进而通过韦达定理获得两直线斜率乘积，获得变量关系后找到定点。

椭圆过点，离心率为，经过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，证明与斜率之和为 . 为了方便，给出椭圆方程 .

这道题的特殊之处，在于要求的斜率不再是，而是，因此直接齐次化联立是不行的。
此时，我们可以平移坐标系，使椭圆方程变化，而新的坐标系中，要求的斜率再次成为，进而使用普通的齐次化联立方法求解。

平以后，椭圆方程为，即 .
此处的椭圆方程平移后消去了常数项，较为特殊。如果没有消掉常数项，需要对常数项也进行齐次化。

注意说明直线不过原点，且平移后的不能为零。
平移前的直线恒过定点，平移后恒过，代入得 .
由韦达定理，，代入即证毕。

齐次化联立其实只是一个技巧，并且这个技巧，胡乱使用很多时候反而会加大计算量，得不偿失。

如果要平移坐标系，那么就要仔细考虑到底要不要使用齐次化联立了。
如果不用平移坐标系，倒是可以先尝试一下。